2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제1회 문제집+해설집 (중 (기존유형 기본))

$a = \log_2 3^{3} = 3\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{4} = 4\log_3 2$이다.

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (3\log_2 3) \times \frac{4}{\log_2 3} = 12$$

$\log_2 128 = \log_2 2^{7} = 7$이므로 구하는 값은 $(12)^{\frac{1}{2}} + 7$이다.

$x = 4$을 대입하면 $\log_{2} 4 = 2$이므로
$$2^2 - 2k + 6 = 0 \implies 2k = 10 \implies k = 5$$

$\log_{2} x = t$로 치환하면 $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0$이므로 $t = 2$ 또는 $t = 3$이다.

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{2} \beta = 3 \implies \beta = 2^{3} = 8$이다.

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 14 \implies l = 14 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 12$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(14 - 2r) = 12 \implies r^2 - 7r + 12 = 0$$

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 4$이고, $l = 14 - 2(4) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{3}{2}$이다.

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= 9 + 25 + 15=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로
$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

$a_7 - a_4 = 3d = 6$이므로 공차 $d = 2$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 6 = 8$이므로 첫째항 $a_1 = 2$이다.

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 2 + 9 \times 2\right) = 5 \times 22 = 110$$

$x \to 2$일 때 분모 $x^2 - 4 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{2+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{2+a}$$

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{2+a}}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x + 2)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{2+a}\right)} \\ &= \frac{1}{8\sqrt{2+a}}=\frac{1}{16} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{2+a} = 2 \implies a = 2$이고, $b = 2$이다.

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5$$

점 $(2, 3)$을 지나고 기울기가 $5$인 접선의 방정식은
$$y - (3) = 5(x - 2) \implies y = 5x + (-7)$$
따라서 $b = -7$이다.

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 1) = 6x^2 + (0)x + (-6)$이므로
$$2a = 0 \implies a = 0, \quad b = -6$$

$$f(-1) = -2 + (0) - (-6) + c = 10 \implies c = 6$$

$$f(1) = 2(1) + (0)(1) + (-6)(1) + (6) = 2$$

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

$\alpha(1) = 6 + 2a = 4 \implies a = -1$이고,
$v(1) = 3 + 2(-1) + b = 0 \implies b = -1$이다.

홀수차 항 $4x^3, 4x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-3x^2 - 1)\,dx = 2\Big[-1x^3 - 1x\Big]_{0}^{1} = 2(-1 - 1) = -4$$

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 1x^3 + 2x^2 - 1x\Big]_{0}^{1} = 1 - 1 + 2 - 1 = 1$$